ฟิสิกส์ของแรงเคลื่อนไหว: จากสายสู่สมการ

กฎของนิวตัน ซึ่งนำมาใช้กับองค์ประกอบ $\Delta x$ ของสาย ระบุว่า แรงภายนอกรวม ซึ่งเกิดจากแรงดึงที่ปลายขององค์ประกอบ ต้องเท่ากับผลคูณของมวลขององค์ประกอบกับการเร่งของจุดศูนย์กลางมวล: $\rho \Delta x u_{tt}(\bar{x}, t)$

การแยกแรงดึง $T$ เป็นองค์ประกอบแนวนอน $H$ และแนวตั้ง $V$ (ตามที่เห็นใน รูปที่ 10.B.1) เราสร้างสมดุลและการเคลื่อนที่:

• สมดุลแนวนอน: $T(x + \Delta x, t) \cos(\theta + \Delta \theta) - T(x, t) \cos \theta = 0$ (ได้ค่าคงที่ $H$)
• การเคลื่อนที่แนวตั้ง: $\frac{V(x + \Delta x, t) - V(x, t)}{\Delta x} = \rho u_{tt}(\bar{x}, t)$ ซึ่งนำไปสู่ความสัมพันธ์ของเกรเดียนต์ $V_x(x, t) = \rho u_{tt}(x, t)$
• การแพร่กระจายคลื่น: การแทนที่ $V(x, t) = H(t) \tan \theta \approx H(t) u_x(x, t)$ ทำให้ได้ $H u_{xx} = \rho u_{tt}$ หรือสมการมาตรฐาน สมการคลื่นสำหรับมิติพื้นที่หนึ่งมิติ: $a^2 u_{xx} = u_{tt}$ โดยที่ $a^2 = \frac{T}{\rho}$ เป็น ความเร็วของคลื่น.

สมการโทรเลขและข้อกำหนดทั่วไป

ระบบจริงมักไม่สมบูรณ์แบบ พวกมันรวมถึง แรงดูดซับแบบไหลเวียน ($-c u_t$) และแรงกลับคืนแบบยืดหยุ่น ($-k u$) ซึ่งนำไปสู่ ($-k u$). This produces the สมการโทรเลข:

$$u_{tt} + c u_t + k u = a^2 u_{xx} + F(x, t)$$

สมการโทรเลขยังควบคุมการไหลของแรงดันไฟฟ้า หรือกระแสไฟฟ้าในสายส่ง (จึงมีชื่อว่าสมการโทรเลข); ในกรณีนี้ สัมประสิทธิ์ต่างๆ สัมพันธ์กับพารามิเตอร์ไฟฟ้าในสาย ขยายไปยังมิติที่สูงกว่า จะได้ $a^2(u_{xx} + u_{yy}) = u_{tt}$ หรือ $a^2(u_{xx} + u_{yy} + u_{zz}) = u_{tt}$

ต้นกำเนิดของผู้ดำเนินการของสตอร์ม-ลิโอวิลล์

เมื่อเราใช้วิธีการแยกตัวแปร ($u = X(x)T(t)$) กับสมการทั่วไป เช่น $r(x) u_t = (p(x) u_x)_x - q(x) u$ เราจะได้สัดส่วนเท่ากับค่าคงที่การแยก $-\lambda$: